粒子群优化（Particle Swarm Optimization,PSO），又称微粒群算法

其重要的迭代用的公式是这条:

$v_i=v_i×w+c×rand()×(pbest_i+gbest- 2×x_i)$

其中：

$v_i$是速度

$w$是惯性因子((0,1)的实数)，和学习因子相反，就是该粒子原来的速度的 参考权重 。比如我的这个程序里取的是0.5，而据说从大到小衰减会更好。因为大的时候会重视每个个体的价值，可以更全面的寻找可行解，而越趋于0就越注重社会的价值就是所有粒子中的最优解。

$C$是学习因子也就是权重一般取$2$。

我们可以通过这个速度向量来更新位置。

$ b[a].x += b[a].v; $

原理

PSO算法是基于群体的，根据对环境的适应度将群体中的个体移动到好的区域。然而它不对个体使用演化算子，而是将每个个体看作是D维搜索空间中的一个没有体积的微粒（点），在搜索空间中以一定的速度飞行，这个速度根据它本身的飞行经验和同伴的飞行经验来动态调整。第i个微粒表示为Xi= （xi1, xi2, …, xiD），它经历过的最好位置（有最好的适应值）记为Pi= （pi1, pi2, …, piD），也称为pbest。在群体所有微粒经历过的最好位置的索引号用符号g表示，即Pg，也称为gbest。微粒i的速度用Vi= （vi1, vi2, …, viD）表示。

引用自百度百科

粒子群优化算法流程图：

所以

对于这道题目我们先初始化他个$ 100 $个粒子，随机地在$ \begin{bmatrix}l,r\end{bmatrix} $区间里取x值，接着计算一下这个值对应的函数值且记录一下全局最优（更新时要用到）。

然后通过公式迭代他个$ 100 $次。

那就可以得到答案了。

一些更详细的内容都写在了代码里了。

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#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
using namespace std;
const int cnt=100;
int n;
double xs[15];//系数
double l,r;//x的范围
double f(double x) {//计算函数值
    double y = 0;
    for (int i=n+1; i>=1; i--) {
        y+=xs[n-i+2]*pow(x,i-1);
    }
    return y;
}
double Rand() {
    return (double)rand()/RAND_MAX;//返回一个[0,1]的随机实数
}
struct node {
    double xv,x,y,besty,bestx;
} b[105];
//xv是速度向量，x是位置，y是当前位置的函数值，besty是该粒子历史最优值，bestx是该粒子历史最优值时的x的值

double by=-1e233,bx;
//by是全局当前最优值，bbx是取到全局最优值时的自变量x

void update(int a) {
    //更新速度向量
    //速度向量  惯性                 全局最优 局部最优  当前位置
    b[a].xv=b[a].xv*0.5+Rand()*2*(bx+b[a].bestx-b[a].x*2);//更新公式

    //通过速度向量更新位置
    b[a].x+=b[a].xv;

    //位置出界处理           速度向量方向反转
    if (b[a].x<l) b[a].x=l,b[a].xv=b[a].xv*-1;
    if (b[a].x>r) b[a].x=r,b[a].xv=b[a].xv*-1;

    b[a].y=f(b[a].x);     //计算当前位置函数值
    if (b[a].y>b[a].besty) { //更新局部最优解
        b[a].bestx=b[a].x;
        b[a].besty=b[a].y;
    }
}

int main() {
    scanf("%d%lf%lf",&n,&l,&r);
    for (int i=1; i<=n+1; i++) {
        scanf("%lf",&xs[i]);//读入系数
    }
    srand(xs[1]+xs[n]);
    //生成粒子
    for (int i=1; i<=cnt; i++) {
        //xv是速度向量，x是位置，y是当前位置的函数值，besty是该粒子历史最优值，bestx是该粒子历史最优值时的x的值
        b[i].x=b[i].bestx=l+Rand()*(r-l);//初始x的值 为 l~r 的一个实数
        b[i].xv=0;        //速度向量初始化为0
        b[i].y=b[i].besty=f(b[i].x);    //计算当前函数值
        if (by<b[i].y) { //若当前函数值优于全局最优函数值则更新全局最优
            bx=b[i].bestx;
            by=b[i].besty;
        }
    }
    //开始迭代
    for (int k=1; k<=100; k++) {
        for (int i=1; i<=cnt; i++) {
            //对每个粒子速度和位置更新
            update(i);
            if (by<b[i].besty) {
                //更新全局最优解
                bx=b[i].bestx;
                by=b[i].besty;
            }
        }
    }
    printf("%.5lf\n",bx);//全局最优的x的值即为答案
    return 0;
}